La magie du nombre, c'est une façon de superposer les cartes sur la gauche, puis de les faire glisser vers la droite pour faire apparaître le nombre qu'on a construit avec des perles.
Ici, mon grand fiston a glissé les cartes en tenant le bloc horizontalement, mais traditionnellement on descend les cartes au creux de la main, verticalement, donc.
Après avoir travaillé un certain temps avec les perles dorées, puis les cartes des catégories, Nistoun a vu l'association des deux. Il fabrique des nombres en perles, place les cartes correspondantes. Ou bien je lui donne des cartes, il choisit les perles. A la fin, il me dit ce qu'il a fabriqué.
Je lui ai présenté la magie du nombre, qu'il attendait avec impatience, car il avait entendu les grands en parler... je le faisait patienter car je voulais que la construction de nombre soit bien acquise, sans hésitations.
Il a beaucoup aimé ! Voir apparaître le nombre final en glissant les cartons les uns sur les autres est en effet très amusant.
Parmi les différentes manières de travailler les lettres, en voilà une qui est très plaisante pour l'enfant !
Mon Nistoun travaille en ce moment les lettres en pâte à modeler. Il forme un boudin, puis trace sa lettre - en s'aidant de la lettre rugueuse si nécessaire ! - et enfin, des petites syllabes qu'il déchiffre.
Avoir commencé à travailler avec les
barres numériques.
Matériel
:
Les
chiffres de 0 à 9, découpés dans du papier de verre et collés sur
un support lisse, en bois. Le 0 sera présenté après les fuseaux,
quand la notion de 0 aura été introduite.
Présentation
:
L'éducatrice
:
Sollicite
l'enfant : « Tu viens travailler avec moi maintenant. »
Emmène
l'enfant à l'étagère, prend les chiffres rugueux, et se dirige
vers une table ou un tapis. Installe l'enfant à sa gauche.
Choisis
trois chiffres. On pourra prendre l'âge de l'enfant, le nombre de
ses frères et soeurs...
Prend
le plus petit, le trace avec l'index et le majeur resserrés, main
ouverte, de chaque main, en disant son nom.
Demande
à l'enfant de faire de même.
Place
la plaquette en haut à gauche du tapis ou de la table.
Fait
de même avec les deux autres chiffres, dans l'ordre croissant.
Fait
la leçon en trois temps.
Le
même jour ou le lendemain, répétez les cinq dernières étapes
pour les autres nombres.
En
fonction de l'enfant, cela peut prendre plusieurs jours.
But
:
Direct
:
Apprendre
à l'enfant le symbole écrit des nombres qu'il connaît.
Lui
fournir les clés de la représentation écrite des chiffres.
Indirect
:
Préparation
à la numération écrite.
Contrôle
de l'erreur : Le
papier de verre guide les doigts de l'enfant.
L'activité
est acquise quand : l'enfant
maîtrise les noms associés aux signes.
Âge
de l'enfant : Environ
4 ans (quand les barres numériques ont été introduites)
On travaille chaque opération suivant le même schéma : en tout premier, la compréhension du concept, avec les perles dorées que l'enfant connaît déjà. S'ensuivent une série de matériels qui amèneront petit à petit l'enfant à l'abstraction, c'est à dire à la technique opératoire.
Notre enfant connaît donc déjà bien le matériel des perles dorées, il a eu l'occasion d'échanger de nombreuses fois des quantités contre les symboles correspondants, et inversement. Il connaît la "magie du nombre", et sait lire un nombre contenant des milliers, même s'il en est toujours à dire "deux dix" pour 20.
L'ADDITION STATIQUE
Nous commençons par ce qu'on appelle "la grande addition", qui permet à l'enfant de comprendre ce que c'est qu'une addition. Un brin de cinéma, de gros chiffres, et l'enfant se retrouve avec une grosse quantité de perles à trier dans un foulard — il en raffole ! Additionner, c'est mettre ensemble. Nous ne travaillons pour l'instant que l'addition statique, c'est à dire sans retenue. C'est pourquoi il faut faire bien attention aux nombres qu'on donne à additionner.
L'addition se travaillera ensuite de la même manière, mais cette fois-ci, nous poserons le résultat sur un plateau. L'enfant pourra donc s'entraîner seul un certain nombre de fois.
Quand l'enfant s'est suffisamment bien entraîné, nous pouvons passer à un degré d'abstraction supplémentaire : il s'agit du matériel des timbres. Cette fois ci, la dizaine n'est plus une barre de 10 perles, mais un petit carré sur lequel on a écrit 10, et ainsi de suite.
Une présentation permettra de faire le passage entre les perles dorées et les timbres.
Ensuite, il s'entraînera à construire des nombres avec les timbres.
Puis l'enfant vivra sa première addition avec les timbres. Pour la présentation, nous faisons compter à l'enfant, et nous écrivons nous même le résultat. Nous préparerons ensuite des feuilles avec des opérations, le résultat étant caché au bas de la feuille sous une partie repliée. L'enfant peut ainsi travailler en toute autonomie !
Puis l'enfant travaillera sur un boulier particulier : une rangée de perles vertes pour les unités, une rangée de bleues pour les dizaines, une rangée de rouges pour les centaines, et une dernière rangée de vertes pour les milliers. Ce boulier montessorien est vraiment un outil formidable. C'est avec ce boulier qu'on expliquera à l'enfant comment effectuer une addition posée : en plusieurs étapes, il arrivera finalement à la technique opératoire de l'addition.
L'ADDITION DYNAMIQUE
L'enfant reprendra toutes les étapes précédentes, mais cette fois-ci avec des additions dynamiques.
Au moment du travail avec le boulier, un matériel viendra s'ajouter en parallèle ; celui de la table à points.
Nous avons permis à l'enfant de comprendre ce qu'est une addition, avec la grande addition. Il a travaillé la première table de Séguin, et connaît désormais les nombres de 10 à 19. Nous allons faire travailler à notre enfant la mémorisation de l'addition. Par une série d'étapes, il va acquérir des réflexes lui permettant de trouver des résultats simples, rapidement, sans avoir recours à une technique opératoire. C'est une sorte de "calcul global" (en comparaison avec la lecture globale) qui l'aidera plus tard à calculer plus rapidement. Cela peut se comparer à la façon dont nous apprenons les tables de multiplication.
On pourra procurer à l'enfant un carnet qui le suivra tout au long de ces acquisitions. Durant ces étapes, il est question de tables de contrôles, de tables des doigts renseignée, découpée, simplifiée... un vocabulaire nécessaire pour bien comprendre de quoi il s'agit. Les photos vous aideront à vous y retrouver.
La succession de ces étapes dure un temps variable selon les enfants, mais cela peut aller jusqu'à 1 an et demi. Il est intéressant de proposer ce travail avant les 6 ans de l'enfant, afin qu'il soit encore dans l'esprit absorbant — et que cela s'imprime donc profondément en lui.
PREMIÈRE ÉTAPE
L'enfant utilise la table d'addition et les barres rouges et bleues. Il a à disposition un carnet de 9 pages sur lesquelles sont écrites les 9 tables d'addition, sans les résultats. Il recopie ces tables dans un carnet, en trouvant le résultat grâce au matériel, et corrige avec la table de contrôle n°1.
table de contrôle n°1
DEUXIÈME ÉTAPE
Toujours avec les tables d'addition, mais cette fois-ci en piochant des combinaisons découpées. L'enfant écrit les opérations piochées, trouve le résultat avec le matériel, et corrige toujours avec la table de contrôle n°1.
TROISIÈME ÉTAPE
L'enfant travaille les égalités qui font 10. En positionnant les barres, cela donne un ensemble symétrique qui marquera l'esprit de l'enfant.
Dans cette même étape, nous allons faire remarquer à l'enfant que certaines combinaisons sont égales : ensemble, nous cacherons sur sa table de contrôle toutes les combinaisons "inutiles". Nous obtiendrons la table de contrôle n°2, simplifiée. C'est désormais avec cette table qu'il contrôlera son travail.
Table de contrôle n°2
QUATRIÈME ÉTAPE
Mon enfant travaille les doubles. Il obtiendra encore une fois un ensemble symétrique qui lui permettra de faire quelques connections logiques.
CINQUIÈME ÉTAPE
L'enfant reprend les combinaisons découpées et les écrit au fur et à mesure sur son carnet de travail. Il travaille cette fois-ci avec la table des doigts renseignée, et se corrige avec la table de contrôle n°2 (simplifiée).
Table des doigts renseignée
SIXIÈME ÉTAPE
Avec les combinaisons découpées, l'enfant recommence le même travail, mais en l'effectuant avec la table des doigts découpée. Une petite manipulation est nécessaire pour bien comprendre comment trouver le résultat. Il se corrige toujours avec la table de contrôle n°2.
Table des doigts découpée
Deux vidéos pour comprendre comment lire un résultat :
SEPTIÈME ÉTAPE
Cette fois-ci, la table des doigts est découpée, simplifiée : seuls les résultats en bout de ligne apparaissent. Le travail est toujours le même : piocher des combinaisons, les écrire sur le carnet, trouver le résultat avec la table des doigts (l'enfant en connaît déjà un certain nombre par coeur) et se contrôler avec la table de contrôle.
Table des doigts découpée simplifiée
HUITIÈME ÉTAPE
La table des doigts est vide. L'enfant pioche cinq combinaisons, les écrit au fur et à mesure sur son carnet. Il trouve le jeton correspondant au résultat, et le place sur la table des doigts non-renseignée. Il corrige avec la table des doigts renseignée. Nous pourrons fixer les jetons avec de la pâte à fixe, afin que son travail puisse se faire sur plusieurs jours.
Table des doigts non-renseignée
NEUVIÈME ÉTAPE
L'enfant travaille avec les jetons. Il en pioche un, trouve de quelle combinaison il est le résultat, et le place sur la table des doigts non renseignée. Il se corrige avec la table des doigts renseignée.
DIXIÈME ÉTAPE
Le matériel est le même que pour la neuvième étape. Sauf que cette fois-ci, nous faisons prendre à l'enfant tous les jetons indiquant le résultat 10, et les placer sur la table des doigts non-renseignée. Il découvrira ainsi certaines choses. Il continuera le travail en prenant à chaque fois tous les jetons indiquant le même résultat, et complètera ainsi la table en entier.
ONZIÈME ÉTAPE
L'enfant travaille les combinaisons particulières, un début d'introduction aux opérations à trous et, plus tard, aux fonctions.
(photo issue de ma formation)
DOUZIÈME (et dernière !) ÉTAPE
Maintenant que toutes ces étapes sont passées, l'enfant devrait avoir tellement souvent recopié les combinaisons qu'il en connaît les résultats par coeur. Nous pousserons le travail jusqu'à lui faire découvrir des petits problèmes, mettant ainsi en action ces connaissances acquises, pour les associer à quelque chose de concret.
Pendant 30 ans, Maria Montessori
sous-estima les capacités de l'enfant en maths et donna uniquement
les exercices des nombres jusqu'à cent. Pour cette raison, La
Découverte de l'Enfant ne mentionne que cette partie du
matériel. Dans les années 1930, l'expansion des maths au cycle
élémentaire commença. Ces matériels étaient déjà utilisés par
les enfants plus âgés. Ceux-ci montraient un faible intérêt pour
ces matériels. Montessori observa que les enfants plus jeunes
montraient beaucoup d'enthousiasme pour ces exercices. On peut lire
dans The Montessori Elementary Method, ce
qui concerne les niveaux supérieurs.
Qu'est-ce que le
système décimal ? C'est un système de nombres basés sur 10. C'est
une hiérarchie de nombres où 10 de 1 est égal à 1 de la catégorie
suivante. L'enfant apprendra à voir 0 comme une chose à part. Il
peut alors utiliser de grands nombres.
Le matériel des
perles dorées représente le système décimal avec les concepts
géométriques du point, du segment, du carré et du cube. Le système
décimal est un système de nombres en base 10. Il y a alors 9
unités, et 0 pour représenter l'absence d'unité et pour marquer un
nombre remarquable dans cette catégorie. Quand l'enfant a acquis les
concepts des nombres de 0 à 10 et les symboles qui les représentent,
il a tout ce qu'il lui faut pour comprendre les catégories
supérieures.
Le travail sur les
nombres de 0 à 10 contient :
Quantité : barres
numériques
Signes (symboles) :
chiffres rugueux
Combinaison des
quantités et des chiffres : barres numériques et cartes
Pratique : fuseaux,
chiffres et jetons
Test : memory game
Les mêmes étapes
permettront d'introduire le système décimal :
Quantité
Symboles
Association des
quantités et des symboles
Pratique
Test
(texte enregistré il y a longtemps - source perdue !)
L'ACQUISITION DU SYSTÈME DÉCIMAL
Maintenant que l'enfant connaît les chiffres, il peut composer n'importe quel nombre ! C'est merveilleux de voir ces petits bouts hauts comme trois pommes, construire 1679 + 3755 en perles dorées et nous donner fièrement le résultat !!
Tout d'abord, nous allons lui montrer le matériel de présentation du système décimal, où la perle dorée représente l'unité, la barre de 10 perles : la dizaine, le carré de 100 perles : la centaine et le cube de 1000 perles : le millier (l'unité de 1000). Hélène Lubienska de Lenval, disciple de Maria Montessori, a imaginé un matériel équivalent, fait de petits cubes de bois.
Parallèlement, le tableau des symboles permet à l'enfant d'aborder les mêmes notions, mais avec les signes écrits.
Comme dans tout le schéma Montessorien pour les mathématiques, on présente la quantité (les perles dorées) et les signes écrits (le tableau des symboles) séparément.
Puis on fait l'association des deux. C'est le moment de montrer la magie du nombre, ou une façon particulière de faire glisser les cartes pour faire apparaître le nombre final.
Avec le jeu de la banque, nous allons pousser un peu plus loin ce travail de compréhension, car il va s'agir de savoir échanger des perles entre les catégories - 10 perles de "un" contre une barre de "dix" etc...
COMPTER - LES NOMBRES DE 1 À 100
Jusqu'à présent, l'enfant disait 5 "dix" ou 5 "dizaines" pour 50. Il est temps de lui apprendre les noms réels de ces quantités. Maria Montessori s'est inspirée de ce matériel créé par un de ses confrères : les tables de Séguin. Il y en a deux, celles permettant d'aborder les nombres de 10 à 19 et celles permettant d'aborder les nombres de 10 à 100.
Le procédé est toujours le même :
- les nombres de 10 à 20 en perles de couleur pour les quantités
- les nombres de 10 à 20 avec les tables de Séguin pour les symboles écrits
- l'association des deux (quantités et signes)
Pour les nombres de 10 à 99, on pourra travailler les symboles, puis directement l'association des symboles et des quantités.
C'est alors le bon moment pour proposer la chaîne de 100, la chaîne de 1000, le tableau des nombres de 0 à 100, le serpent positif avec change.
L'enfant démarre les mathématiques avec deux matériels importants car ils sont en lien avec ce qu'il connaît déjà : les barres rouges et bleues, semblables aux barres rouges qu'il a travaillé en sensoriel
et les chiffres rugueux, qui ont quelques points communs avec les lettres rugueuses.
Avec ces deux matériels, il apprend de façon séparée les chiffres de 1 à 10, par leur quantité et par leur signe. Et ce n'est que plus tard qu'on lui fera faire le lien entre ces deux matériels, par l'association des barres rouges et bleues et des cartes. (mais ne vous leurrez pas, l'enfant aura bien vite compris que ces deux là avaient quelque chose à voir ensemble !!)
On n'oubliera pas de travailler la calligraphie en parallèle, sur une ardoise à carreaux.
Maintenant que cela est vu, il nous faut aborder le concept du zéro, avec le matériel des fuseaux. "Dans la case du zéro, on ne met rien", voilà ce que l'enfant doit comprendre.
(matériel maison)
Avec le matériel des chiffres et des jetons, l'enfant aborde de façon très claire les nombres pairs et impairs. De plus, ranger tous ces petits jetons correctement demande une certaine maîtrise des gestes.
Puis vient le jeu des haricots, où l'éducatrice écrit en direct un chiffre sur un bout de papier, et l'enfant doit donner le bon nombre de haricots (ou de galets, ou tout autre chose...).
(photo prise lors d'une journée de formation)
On peut finir sur un jeu de mémorisation, qui se joue de préférence à plusieurs et permet de fixer les acquis et de travailler les quantités sans avoir le signe écrit sous les yeux.
Le serpent positif sans change peut démarrer à ce moment là, puisque pour le travailler, l'enfant n'a besoin de rien de plus.
Nous avions déjà abordé le système décimal l'année dernière, mais j'ai préféré prendre le temps de revenir sur la numération de 0 à 10 dans ce premier temps de l'année. Voyant qu'on peut avancer, nous voilà de nouveau sur ces jolies perles dorées.
Dans un premier temps, l'éducatrice présente à l'enfant un plateau contenant une perle de 1, une barre de 10, un carré de cent et un cube de 1000. Le tapis en feutrine est bien utile pour que la petite perle ne roule pas. Elle enseigne à l'enfant les noms de ces quantités par la leçon en trois temps.
J'avais noté, en 2008, cette présentation faite à Pitch à l'époque.
Premier temps : "voici une perle de 1". Avec la barre de 10 : nous comptons chaque perle pour observer qu'il y en a dix (même s'il le sait très bien). Je pose ensuite la barre de 10 sur le carré de cent, pour faire remarquer qu'il y en a 10 pour faire le carré. Je pose enfin le cube sur le carré, pour voir que c'est la même chose ; puis nous comptons le nombre de carrés dans le cube. Fin du premier temps, je fais prononcer à Pitch les mots appris (qu'il répète après moi).
Deuxième temps : Un premier tour en disant : "montre-moi la perle de 1, la barre de 10, le carré de cent, le cube de 1000", dans l'ordre, dans le désordre. Ensuite le travail se corse : "Pose le carré de cent ici, donne-moi la perle de un, va mettre le cube de 1000 sur l'autre table etc..." A la fin, nous rangeons, car je sens Pitch fatigué. Comme les objets sont dans la classe, il faut les rapporter sur le plateau : "Apporte-moi le cube de 1000, etc". Nous rapportons le plateau à l'étagère, et je fais remarquer à Pitch qu'on le range toujours en mettant le cube à gauche.
Le même travail se fait avec les grands symboles.
De même, en novembre 2008 :
Première séance : je sors les cartes de 1, 10, 100, 1000. Je les nomme. Je fais ensuite le deuxième temps de la leçon en trois temps, "montre-moi". Nous discutons des cartes, tu vois, le 10 a un zéro, tandis que le cent en a deux. Ah oui, tu as raison, le 1000 en a trois, il est vraiment très très gros !
Deuxième séance : nous étalons sur la table les cartes, de gauche à droite 1000, 100, 10, 1 et de bas en haut de 1 à 9.
Là, je vérifie le vocabulaire. Puis, d'emblée, Pitch va me chercher le plateau du système décimal, le place au dessus des cartes et me montre le 1000 en me disant : "ça, c'est le cube de 1000". Idem pour 100, 10 et 1 ; je le laisse faire, bien sûr. Puis je demande : est-ce que tu peux me donner trois "un" ? Il attrape trois cartes d'unités. J'explique alors, comme je peux c'est à dire pas très clairement, qu'il doit me donner la carte qui représente trois "un", c'est à dire trois perles de un. Pour illustrer mon propos, je vais chercher des perles-unités (des perles dorées sans fil de fer). Pitch semble avoir compris, je n'insisterai pas cependant, je demande encore quelques unités et on s'arrête.
Troisième séance, Pitch installe les cartes. Comme l'autre fois, il va chercher le plateau des perles dorées (j'avais pris soin de poser 9 perles unités et 9 barres de 10, "au cas où", sur le plateau). Je demande la carte qui représente 6 un, 6 perles de un. Pitch prend la carte, sors 6 perles, puis m'arrête. "Non, on va recommencer depuis le début". Il replace la carte de 6, prend celle de un, la nomme et place une perle de un à côté ; puis il replace la carte de 1, mais pas la perle, il sort la carte de 2 et prend une autre perle. "deux". Là, je me suis faite toute petite, je n'étais plus utile (c'est bien d'avoir relu le chapitre à ce sujet dans l'après midi ! ça aide !). Il continuera ainsi jusqu'au 9, puis décidera : "bon, ça va pour aujourd'hui, on va ranger".
Une fois ces associations faites, je peux à présent jouer avec ces nombres et ces perles, en demandant à Risette de composer des nombres à 4 chiffres en perles et en cartes, que j'ai au préalable écrit sur une ardoise.
Le travail inverse peut être fait, c'est à dire que je prépare un nombre en perles, et je lui demande de me le donner en cartes et de l'écrire sur l'ardoise.
C'est un travail qu'on peut faire avant 6 ans, voilà pourquoi je le place dans les catégories mathématiques 3-6 et 6-12.
Toujours dans le cadre de l'addition, Risette travaille en ce moment sur le serpent négatif sans change. Il s'agit de compter les perles jusqu'à 10, puis de changer les barrettes par une barrette dorée de 10. Le contrôle de l'erreur permet en particulier de bien intégrer les notions de complément à 10.
J'avais créé une vidéo il y a quelques années, pour expliquer la façon dont je l'avais compris.
Pour effectuer le contrôle de l'erreur, l'enfant commence par compter pour trouver quels compléments ajouter pour obtenir 10. Mais les réflexes s'acquièrent très rapidement.
Le serpent positif sans change peut se présenter très tôt, car il suffit que l'enfant sache compter jusqu'à 10. Et quel plaisir pour ma minette d'utiliser le matériel longtemps réservé aux "grands"...
Il s'agit de remplir des fiches en utilisant des barres rouges et bleues pour calculer. Aucun piège, il ne reste que le plaisir de manipuler et de réussir.
